Péndulo compuesto. |
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Definición. El péndulo compuesto es una
idealización que consiste en considerar uno o varios cuerpos rígidos unidos
de forma permanente, de forma que el giro del cuerpo rígido se produce por efecto
de la gravedad cuando el centro de gravedad del cuerpo rígido se encuentra
orientado en un ángulo diferente a la vertical y el cuerpo rígido se suelta,
propiciando el movimiento pendular. . |
Fig. 1 Elementos de un péndulo compuesto. |
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Para generar el
modelo que describa el movimiento del péndulo compuesto, primero se efectuará
la parametrización de las variables que nos permitirán definir las ecuaciones
deseadas. Considerando la siguiente figura: Fig. 2 Parámetros del péndulo compuesto.
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Análisis
energético. Fig.3 Movimiento pendular. |
Consideraciones: · La masa del
péndulo se ubica en un punto (centro de gravedad). · El péndulo
se considera un cuerpo rígido. · El péndulo tiene
una inercia (Ipc). · No hay
pérdidas energéticas. · El centro de
gravedad describe una trayectoria circular. Bajo estas consideraciones es posible plantear la
ecuación de equilibrio energético con base en el
principio de conservación de energía. |
Energía
cinética. En
general la energía cinética de un cuerpo rígido se define como: (1) Siendo
v la velocidad lineal del centro de gravedad de péndulo, w la velocidad
angular. En el caso del péndulo éste efectúa movimiento de rotación pura por
lo que la ecuación anterior toma la forma: (2) Por lo que es necesario obtener Xpc, así como de Ipc. Para
ello, se procederá a determinar la distancia y posteriormente la inercia. (3) Siendo mp la masa de la placa [kg] y md la
nada del disco [kg]. Para obtener la Inercia de la placa con respecto al eje
de giro, primero se calcula la inercia de la placa con respecto a su centro
de gravedad y posteriormente se traslada dicha inercia al eje de giro,
aplicando el principio de los ejes paralelos o “Teorema de
Steiner”. De acuerdo a las tablas
de inercia, resulta:
(4) De forma análoga, la inercia del disco con respecto al
eje de giro es:
(5) Por lo que la suma de (4) y (5) nos permite obtener la
inercia total, que representa la inercia del péndulo compuesto. (6) En consecuencia, la energía cinética se expresa como: (7) |
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Energía
potencial. La
ecuación fundamental de la energía potencial resulta ser: (8) Siendo
mpc = mp
+ md , la
masa del péndulo compuesto [kg.]. |
Fig. 4 Movimiento pendular. |
Bajo estas consideraciones, y con base en el
principio de conservación de energía , al sumar ambas energías, derivando y
simplificando se obtiene: (9) Una
solución aproximada se obtiene considerando ángulos pequeños, de forma que se
linealiza la ecuación asumiendo la aproximación θ ≈ seno θ.
De esta forma, la solución de la ecuación (9) resulta ser: (10) Siendo su velocidad angular:
(11) Y su periodo: (12) Que
corresponde a un Movimiento Armónico Simple. |
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Herramienta
didáctica Fig. 5 Interfaz del Simulador de un
péndulo compuesto. Bibliografía: [1] Universidad del País Vasco, Oscilaciones,
Péndulo Compuesto: Sitio en internet: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilaciones/compuesto/compuesto.html , consulta:
04/02/2022. [2] Fisica Recretiva,
https://www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdf consulta: 10/02/2022. |