Cinemática del mecanismo biela-manivela-corredera.

 

 

Este tipo de mecanismo se ha utilizado en una gran cantidad de máquinas como un mecanismo articulado capaz de transformar movimiento circular simple a movimiento rectilíneo, o viceversa.

 

Se trata de un mecanismo de un grado de libertad, esto se refiere a que el movimiento independiente de uno de sus componentes restringe el movimiento de los demás componentes.

 

En la figura se ilustra el movimiento de éste tipo de mecanismo para comprimir de forma automática una bolsa ovalada de un respirador ambulatorio.

 

 

 

Los elementos que constituyen este mecanismo simple son la manivela que efectúa un movimiento de rotación pura, la corredera que efectúa movimiento de traslación lineal y la biela que efecúa un movimiento combinado de rotación y traslación.

 

 

 

El lector interesado puede conocer un ejemplo de la aplicación de éste mecanismo en el diseño de la prótesis de una rodilla.

 

De esta forma, el mecanismo puede ser analizado considerando los parámetros que se muestran en la siguiente figura

 

 

Siendo:

 

l1 – Longitud efectiva del eslabón 1 (manivela).

l2 – Longitud efectiva del eslabón 2 (biela)

P – Posición del punto P (0,y)

θ1 – Ángulo del eslabón 1.

θ2 – Ángulo del eslabón 2.

 

Los vectores de posición que describen al mecanismo se pueden representar como:

 

De esta forma, la ecuación general de movimiento del mecanismo es:         r1 + r2rp =0       ..(1)

 

Siendo:

                                                                     ..(2)

 

                                                                     ..(3)

 

                                                                                         ..(4)

 

Simplificando  y   al sustituir (4), (3) y (2) en (1), resulta el conjunto de ecuaciones que definen la posición de los elementos del mecanismo:

 

                                                       (5)

 

 

Observando el conjunto de ecuaciones se deduce que el problema cinemático directo se resuelve conociendo la longitud de los eslabones y cualquiera de los ángulos, de acuerdo a como se ejemplifica en el simulador. 

 

De la primera ecuación de (5) se despeja de forma directa el ángulo desconocido, y una vez determinados ambos ángulos el valor de “y” se obtiene por sustitución directa en la segunda ecuación.

 

El problema cinemático inverso se plantea considerando como datos conocidos la longitud de los eslabones y la coordenada “y”. De esta forma, dicho problema se resuelve obteniendo los valores de los ángulos que satisfacen la posición de la coordenada “y”. Precisamente, la cinemática inversa es en la mayoría de los casos de diseño lo que hay que resolver para analizar el comportamiento del mecanismo.

 

Existen diversos métodos para obtener su solución como son el Método gráfico, el método algebraico, o bien aplicando un método numérico como Newton-Raphson.

 

En este ejemplo, se utilizará el método algebraico. De las ecuaciones en (5) se procede a despejar el término de  , elevando ambas ecuaciones al cuadrado y sumando se obtiene:

 

                                                                ..(6)

 

Despejando el ángulo , se obtiene:

 

                                                        ..(7)

 

Y de la primera ecuación en (5)

                                          ..(8)

 

Con el propósito de evitar inconsistencias o singularidades en el modelo matemático, es importante reconocer que la posición máxima del punto P se obtiene cuando  = 90° y = 270°, de forma que ymax = l1-l2, así mismo, la posición mínima del punto P se obtiene cuando  = 270° y = 270°, siendo ymax = -(l1+l2). Adicionalmente se asumirá que l2 > l1.

 

 

A fin de verificar las ecuaciones de posición, se presenta una simulación java applet, en la cual se ha considerado  l1 = 0.21 [m], l2 = 0.35 [m] y una variación de la coordenada y Î (-0.2,-0.4) [m].

 

 

 

Es apreciable reconocer que la ecuación (7) no reconoce la diferencia entre valores positivos o negativos de la coordenada “y”, por lo que habrá que considerar el cuadrante en donde se encuentra el ángulo para corregir el signo de dicho ángulo.

 

También es importante reconocer que para un mismo valor de la posición vertical del punto P existen dos soluciones de mecanismos que satisfacen dicha posición. Queda como ejercicio plantear y resolver la posición cinemática inversa del mecanismo complementario.

 

Con relación a la velocidad y a la aceleración de los elementos del mecanismo, es suficiente aplicar la primera derivada total y la segunda derivada total, respectivamente. Generalmente la variable conocida se parametriza con respecto al tiempo.

Como ejemplo, supongamos que se desea girar de forma constante debido a que la manivela será impulsada con un motor y un sistema de transmisión. De esta forma:

 

        .                                               .(9)

 

Por lo que = C t, y su aceleración es cero.

 

Con relación a la velocidad de se asume que se tiene definida la posición, velocidad y aceleración de , de forma que de la primera ecuación de (5) se obtiene:

 

                                                ..(10)

 

La velocidad de la coordenada “y” queda definida por la derivada total de la segunda ecuación de (5), resultando:

 

                                                         ..(11)

 

Las aceleraciones restantes del mecanismo se obtienen derivando (10) y (11). Queda como ejercicio para el lector obtener dichas derivadas.